الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
فيعالمالرياضيات،تُعتبرالأعدادالمركبة(ComplexNumbers)منالمفاهيمالأساسيةالتيتجمعبينالأعدادالحقيقيةوالتخيلية.تُستخدمهذهالأعدادفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية،مثلمعالجةالإشاراتوالفيزياءالكميةوحتىفيالرسومياتالحاسوبية.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعها.الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
ماهيالأعدادالمركبة؟
الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزأين:
1.جزءحقيقي(RealPart).
2.جزءتخيلي(ImaginaryPart).
يُكتبالعددالمركبعادةًبالصيغة:
[z=a+bi]
حيث:
-(a)هوالجزءالحقيقي.
-(b)هوالجزءالتخيلي.
-(i)هوالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد(-1)،أي:
[i^2=-1]
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبعلىالمستوىالمركب(ComplexPlane)،حيثيُرسمالجزءالحقيقيعلىالمحورالأفقي(محور(x))والجزءالتخيليعلىالمحورالرأسي(محور(y)).بهذهالطريقة،يصبحالعددالمركبنقطةفيالمستوىثنائيالأبعاد.
العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
مثال:
[(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2i-4i)=4-2i]الضرب:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعمعتذكرأن(i^2=-1).
مثال:
[(2+3i)\times(1-i)=2\times1+2\times(-i)+3i\times1+3i\times(-i)]
[=2-2i+3i-3i^2=2+i-3(-1)=5+i]القسمة:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيالمرافقالمركب(ComplexConjugate)للمقاملإزالةالجزءالتخيليمنالمقام.
مثال:
[\frac{ 1+2i}{ 3-4i}\times\frac{ 3+4i}{ 3+4i}=\frac{ (1+2i)(3+4i)}{ 9+16}=\frac{ -5+10i}{ 25}=-\frac{ 1}{ 5}+\frac{ 2}{ 5}i]
تطبيقاتالأعدادالمركبة
- الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلدوائرالتيارالمتردد.
- الفيزياء:تساعدفيحلمعادلاتميكانيكاالكم.
- معالجةالصور:تُستخدمفيتحويلاتفورييهلتحليلالإشارات.
الخلاصة
الأعدادالمركبةتوسعنطاقالأعدادالحقيقيةوتقدمأدواتقويةلحلمسائلمعقدةفيالرياضياتوالعلوم.بفهمأساسياتها،يمكنتطبيقهافيمجالاتمتعددةبسهولةوكفاءة.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطإذاكنتمهتمًابتعلمالمزيد،يُنصحبالبحثعنصيغةأويلر(Euler'sFormula)التيتربطالأعدادالمركبةبالدوالالمثلثيةوالأسية!
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
